一、Optimal Control of Semilinear Elliptic Variational Bilateral Problem（论文文献综述）
鄢立旭[1]（2021）在《几类分数阶随机发展方程的解和控制问题》文中研究表明随机偏微分方程是一类包含随机过程或随机场的偏微分方程。将偏微分方程和随机性联系起来的思想可追溯到20世纪50年代。分数阶随机偏微分方程是近年来一个新兴的研究领域。分数阶微积分固有的多尺度性使得其更适用于刻画反常扩散、记忆效应和分形等自然现象。但由于分数阶微积分的非局部性和强奇异性,导致目前关于分数阶随机偏微分方程的相关结论还比较少。分数阶Brown运动由Kolmogorov于1940年左右提出,目前已被广泛应用于各种物理现象。分数阶Brown运动是标准Brown运动的推广,但是分数阶Brown运动既不是半鞅也不是Markov过程,从而在研究分数阶Brown运动时要注意其随机积分是否有意义。Poisson跳是一类重要的随机过程,利用它可以构造一般的独立增量过程。综上所述,研究分数阶Brown运动和Poisson跳驱动的分数阶随机偏微分方程具有重要的理论意义和实际意义。本论文研究几类分数阶随机偏微分方程解的存在唯一性、最优控制的存在性和相应控制系统的渐近能控性。首先,研究一类Gauss随机场驱动的空间分数阶随机反应扩散系统。分数阶Laplace算子是非局部算子,在计算时比标准Laplace的情形更复杂。本论文基于分数阶Laplace算子特征值和特征函数的性质,利用Gal¨erkin方法,结合CrandalLiggett定理,在非线性项满足极大耗散和一定的增长性条件下,先得到弱解的一个一致估计,然后证明系统存在唯一的弱解。此外,对一类二次消耗泛函最优控制的存在性进行讨论,并且给出具体例子说明结论。其次,研究一类分数阶Brown运动和Poisson跳驱动的时间-空间分数阶随机扩散方程。这类问题的难点在于方程同时具有分数阶Brown运动、Poisson跳、Caputo时间分数阶导数和分数阶Laplace算子。本论文利用迭代技巧,给出这类方程温和解存在唯一的充分条件。进一步,研究一类非凸消耗泛函最优控制的存在性,并给出两个例子说明结论。最后,研究一类具延迟混合噪声驱动的时间-空间分数阶随机扩散方程。具延迟的控制系统的能控性比无延迟的更复杂。本论文分别讨论线性分数阶噪声驱动的情形和非线性分数阶噪声驱动的情形。利用逼近解序列,证明线性噪声驱动时温和解的存在唯一性。利用不动点理论,证明非线性噪声驱动时温和解的存在唯一性。然后,利用温和解的性质,探讨相应控制系统的渐近能控性。目前,研究分数阶随机偏微分方程和分数阶Brown和Poisson跳驱动的随机偏微分方程的文献不是很多,分数阶Brown和Poisson跳驱动的时间-空间分数阶随机偏微分方程方面的文章更少。本论文的研究旨在丰富该方向上的理论,促进该研究领域的发展。
黄飞[2]（2021）在《非线性椭圆最优控制问题自适应有限元方法的收敛性与拟最优性》文中研究说明偏微分最优控制问题求解需要将无穷维优化问题转化为有限维优化问题,通常采用有限元方法实现.有限元离散格式的选取通常需要兼顾两个方面.第一是优化问题的求解.优化问题的规模依赖于有限元网格剖分的自由度个数,希望自由度个数尽可能减少,降低优化规模.第二是逼近精度问题.约束偏微分最优控制问题的非光滑系数会产生非光滑解,导致计算精度降低.自适应有限元方法有效地兼顾上述两个问题,能在降低优化规模的同时提高计算精度.自适应有限元方法的主要思想是通过后验误差估计子指导网格加密,利用有限元解及给定数据等可计算量在每个剖分单元上计算误差指示子来衡量逼近误差,挑选误差指示子较大的单元进行标记加密,形成新的网格,最终把自由度分布在解具有奇性的区域.本文将研究非线性椭圆最优控制问题自适应有限元方法的收敛性和拟最优性,主要内容涵盖如下四个部分.第一部分,研究一类二次泛函的非线性椭圆最优控制问题.首先,利用Lagrange乘数法获得了由状态方程、对偶方程和变分不等式三者耦合而成的最优性条件.接着,利用分片常数逼近控制变量,分片线性函数逼近状态变量和伴随状态变量,利用变分离散方法处理变分不等式,获得了最优控制问题的有限元离散格式.第二部分,研究非线性椭圆最优控制问题的后验误差估计.利用Miliner教授提出的非线性项线性化方法处理误差方程,利用Bubble函数思想、新Bubble函数思想、对偶论证方法、插值算子及投影算子获得有限元解的残量型后验误差估计.第三部分,研究非线性椭圆最优控制问题自适应有限元方法的收敛性.结合非线性项线性化方法、D?fler性质、对偶论证方法、常用基本不等式获得了数据振荡的局部扰动性、误差下降性和拟正交性,并利用这三个性质证明自适应有限元方法的收缩性.第四部分,研究非线性椭圆最优控制问题自适应有限元算法的拟最优性.引入一个函数逼近类,利用非线性项线性化方法、对偶论证方法、常用基本不等式、插值算子和投影算子获得了离散局部上界和拟正交性,结合D?fler性质证明自适应有限元算法的拟最优性.本文考虑非线性椭圆最优控制问题,建立了最优控制问题最优性条件,主要研究了非线性椭圆最优控制问题的有限元解的残量型后验误差估计,获得了自适应有限元方法的收敛性和拟最优性的严格数学证明,并利用数值算例验证理论分析,实现一类非线性最优控制问题的数值模拟.
陈博强[3]（2021）在《波动方程内界面最优控制问题的CutFEM方法》文中研究说明许多科学和工程领域内的数学模型,都可以转化为由偏微分方程约束的界面最优控制问题。例如:在海洋声波、地震波、电磁波的传播等问题中,由于计算区域的内界面两侧材料性质的不同,会导致波动方程扩散项的系数是不连续的,波会在内界面两侧会有不同的取值,在内边界的法向上产生跳跃量。换个角度说,可以通过对法向跳跃量进行调控,对波的传播产生影响,达到预期的波场分布效果。本文研究了波动方程内界面最优控制问题的CutFEM方法,主要内容有:首先,建立了波动方程内界面的最优控制问题模型,然后根据经典的最优控制问题的理论,详细地推导出模型的对偶状态方程以及最优性条件不等式。原本的状态方程加上对偶状态方程以及最优性不等式,这三个式子合并起来共同组成了所需要的最优性系统。然后,详细介绍了我们对于最优性系统的空间离散所采取的CutFEM方法。CutFEM方法是由Peter Hansbo与Anita Hansbo提出的一种基于尼采方法的非匹配有限元方法。非匹配有限元方法区别于其它有限元方法的一点在于:在非匹配有限元方法中,内界面可以横穿过剖分单元的边,可以避免复杂的界面剖分。对于最优性系统的时间层面上的离散,我们采取了Crank-Nicolson时间二阶离散格式。这样,我们最终就得到了最优性系统的全离散格式。为了进行误差估计,论文引入了状态变量与对偶状态变量的中间变量,以中间变量为桥梁推导误差估计。通过构造误差方程,运用具体的误差分析方法,先推导出状态变量及对偶状态变量的全离散有限元解与它们的中间变量之间的误差估计。紧接着推导出了控制变量的全离散有限元解与精确解之间的误差估计。再其次,通过定义一个椭圆算子,推导出了状态变量及对偶状态变量的精确解与它们的中间变量之间的误差估计。最后,结合以上误差估计,最终得到了状态变量、对偶状态变量及控制变量的精确解与它们的全离散有限元解之间的误差估计。在文章最后进行了初步数值实验来验证理论推导。
王晓燕,王伟华,田巍,张敬[4]（2021）在《一类退化椭圆型分布参数系统的最优控制条件》文中进行了进一步梳理研究了一类由退化椭圆方程所支配的分布参数系统的最优控制问题.由于该椭圆方程已被证明了弱解的存在唯一性,因此只考虑退化点集为单点集的情形.通过正则化方法和变分原理,得到了该分布参数系统最优控制所满足的必要条件.
张娟[5]（2021）在《奇异摄动及优化问题的误差估计与预处理》文中进行了进一步梳理随着科学研究和工程技术领域探索的不断深入,自然界中的大量自然现象以及日常生活中的很多经济社会现象,往往可以借助（偏）微分方程进行刻画.由于科学工程问题受到诸多因素的影响,通常很难得到其真实解.科学计算是近两个世纪以来重要的科学技术进步之一,已成为促进重大科学发现和科技进步的重要手段,是国家科学技术创新发展的关键要素.科学计算必须依靠高效的数值计算方法和高性能的计算机硬件系统.但是,计算机硬件技术的更新速度在一定程度上跟不上科学工程领域发展的步伐,所以必须依靠研究、设计高效的数值方法进行大规模工程问题的数值模拟,并且这也是最有效、最节约成本的解决方案之一.如何确定恰当计算花销达到给定的数值计算精度,就需要使用自适应的技巧.自适应技巧的核心是利用已有的数值结果和模型方程的已知信息构造有效的后验误差估计指示子.如何得到有效的、便于程序实现的后验误差估计指示子,是当前诸多学者讨论和研究的焦点之一.此外,研究控制系统性能指标最优化的整数阶和分数阶偏微分方程最优控制模型,可以概括为在一组等式或不等式的约束条件下,求目标函数极值的问题.由于分数阶导数算子的全局特性,国内外诸多学者采用谱方法求解变量约束分数阶最优控制问题.本文基于有限元方法讨论了变量约束整数阶最优控制问题的数值求解方法及其离散代数系统快速计算的相关问题,结合其等价离散代数方程组的结构特征,构造了高效的块对角预处理子;利用谱方法给出了状态变量积分受限分数阶最优控制问题的离散格式,实现了模型问题的高效率数值求解.此外,采用谱方法实现了低维空间奇异摄动问题的高效数值求解,并根据基函数的正交特性讨论了该类模型问题的谱方法后验误差估计相关技巧.具体包含如下内容:文中围绕低维空间反应扩散方程奇异摄动问题模型,利用区间加权正交广义雅克比多项式设计了包含奇异摄动参数的正交基函数,从而得到了稀疏的刚度矩阵,并基于谱方法给出了一维奇异摄动问题模型相应的数值求解格式.基于模型方程微分算子建立了数值解的各系数与方程右端项关于雅克比多项式的展开系数之间的恒等关系.借助基函数以及广义雅克比多项式的加权正交性,通过分析基函数正交系数的上界估计,给出了两类范数意义下的后验误差估计.基于控制变量所满足的积分约束条件,给出了分布式最优控制问题的等价最优性条件,采用有限元方法给出了模型问题的数值离散代数系统.针对刚度矩阵中非零元素的结构特点构造了稳健的块预处理子,并设计了快速迭代算法,同时分析了该算法的计算量为≤ 9步.结合数值算例验证了本文所设计预处理子的高效特性,相应的迭代算法计算量符合理论分析结果.类似的,围绕状态变量在积分约束下的椭圆型最优控制问题,利用KKT条件给出了一阶等价最优性条件,采用有限元方法实现了相应等价问题的数值离散,同时根据其刚度矩阵的结构特征,设计了稳健的块预处理子以及可行的迭代算法,并证明了其迭代计算量为≤6步.同样地,给出数值算例验证了预处理子的高效特性,并且佐证了迭代算法的计算量与理论分析结果相一致.通过引入拉格朗日乘子技巧分析了状态变量在L2-范数意义约束下最优控制问题的一阶最优性条件,并得到了控制变量与对偶状态变量之间的等式对应关系.此外,针对Riemann-Liouville意义的分数阶偏微分方程,详细探究了状态变量在积分约束下Riesz分数阶最优控制问题模型相应的最优性条件.借助Galerkin谱方法具有全局性特点,结合广义雅克比多项式构造了 Galerkin谱方法实现分数阶最优控制问题模型的数值离散.同时根据已有的正则性分析结果给出了模型数值解的先验误差估计分析.最后借助数值算例验证了高精度Galerkin谱方法数值格式的逼近效果,通过数值解的收敛阶分析进一步验证了理论结果的正确性.
谢和虎[6]（2020）在《子空间扩展算法及其应用》文中提出科学研究与工程实际中存在着大量的非线性偏微分方程,这使得非线性方程的求解变得越来越重要.本综述论文利用定义在粗网格上的有限元空间来重建任意有限元函数的Aubin-Nitsche技巧的误差估计.然后介绍如何利用这种对Aubin-Nitsche技巧的新视角来设计求解半线性椭圆方程和特征值问题的扩展子空间算法,同时给出相应的收敛性分析和计算量估计.特别地,当求解多项式形式的非线性方程和特征值问题的时候,扩展子空间算法的渐进计算量可以达到最优.本文的论述表明扩展子空间算法是一种用来设计求解非线性方程快速算法的框架,可以应用于更广泛的非线性方程的求解,同时也可以结合各种高效的线性解法器来提高非线性方程的求解效率.
林秀秀[7]（2020）在《椭圆型和分数阶扩散方程最优控制问题的谱方法研究》文中提出偏微分方程约束最优控制问题（简称控制问题）广泛应用在实际生活中,如经济、工程等领域.最近几十年,关于最优控制问题的理论和数值方法研究得到了迅速的发展;然而,关于分数阶微分方程约束最优控制问题（简称分数阶控制问题）研究发展比较晚.对分数阶控制问题的理论研究和数值模拟已经成为一个热点问题.鉴于谱方法的独特优势,发展最优控制问题和分数阶控制问题的谱元方法和自适应谱元方法需要进一步的研究和讨论.为了进一步分析这方面工作,提高高效的数值方法,我们在这篇论文研究了状态、控制受限最优控制问题的谱方法和谱元方法分析,以及时空分数阶最优控制问题的谱方法逼近.本论文主要讨论了下面几个部分的内容:第一部分:研究了L2范数状态约束椭圆最优控制问题（简称椭圆控制问题）谱方法逼近,首先我们利用分类讨论来严格地推导了最优性条件,构造了问题的谱Galerkin逼近,接下来利用多项式算子的性质并结合辅助方程证明了状态、控制、伴随态的先验误差分析;进一步利用辅助方程推导了控制问题的L2-H1后验误差分析和L2-L2后验误差分析,构造梯度算法进行数值实验,证实谱方法的有效性.第二部分:研究了L2范数控制受限椭圆控制问题谱方法逼近,其目标泛函不受控制约束.首先我们严格地推导了最优性条件,构造了问题的谱Galerkin逼近,接下来利用多项式算子的性质结合辅助方程推导了控制、状态、伴随态的先验误差分析;进一步利用辅助方程推导了控制问题的L2-H1后验误差分析,再根据辅助问题推导L2-L2后验误差分析,构造梯度算法进行数值分析来证实了谱方法的有效性.第三部分:考虑了椭圆控制问题的hp谱元逼近后验误差估计,这里我们考虑了L2范数状态受限和控制受限这两种情况.根据已推导的最优性条件,构造问题的谱元逼近,再利用辅助方程和投影算子推导出谱元逼近的后验误差分析,数值实验验证了谱元方法的有效性,即可以通过增加单元的个数或增加多项式阶数来提高收敛率.这部分工作为我们继续研究最优控制问题的自适应谱元方法奠定了基础.第四部分:考虑了控制受限时间空间分数阶扩散方程最优控制问题（简称时空分数阶控制问题）的时空谱方法逼近.首先我们分析无控制约束的控制问题,建立了问题的先验误差估计;接下来我们分析有控制约束的控制问题,给出问题的最优性条件,再进行问题的先验误差分析,以及后验误差分析,理论结果说明此方法在时间方向和空间方向均能达到谱精度.第五部分:考虑了状态受限时空分数阶控制问题的时空谱方法逼近.首先我们推导了最优性条件,再根据多项式逼近算子性质严格证明了先验误差分析,进一步利用辅助方程推导问题的后验误差分析,理论结果说明此方法在时间方向和空间方向均能达到谱精度;为我们继续研究分数阶最优控制问题的谱逼近奠定了基础.
曹龙舟[8]（2019）在《控制系统中的非线性最优控制问题插值系数混合有限元方法研究》文中进行了进一步梳理最优控制问题在控制系统很多领域都具有广泛的应用,已被用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调解器等。例如:确定一个最优控制方式使空间飞行器有一个轨道转换到另一个轨道燃料消耗最小,探究在电路传输系统中电量损失最小等。所以研究控制系统中的最优控制问题的数值求解具有十分重要的理论意义和应用前景。由于大量控制系统中的最优控制问题计算规模巨大,对求解速度要求很高,因此提高最优控制问题的计算效率是急需解决的重要问题。许多文献主要采用有限元方法来研究这些最优控制问题,然而对于某些特定的问题,插值系数混合有限元有着不可替代的优势。本文,我们将研究控制系统中几类非线性最优控制问题插值系数混合有限元解的先验误差估计。本文主要分为两个部分:第一部分,我们研究了控制系统中的非线性椭圆最优控制问题。首先利用变分原理得到非线性椭圆最优控制问题的最优性条件,即将一个求解泛函极小的问题转化为状态方程、伴随状态方程和一个变分不等式三者的联立系统;利用最低阶Raviart-Thomas混合有限元逼近状态变量和对偶状态变量、分片常数函数逼近控制变量,建立非线性椭圆最优控制问题的混合有限元离散格式。采用Larsson和Tomee等人提出的插值算子方法,将误差方程中的非线性项通过插值算子转化为线性项,并利用椭圆方程插值系数混合有限元的先验误差估计结果,得到非线性最优控制问题混合有限元解的2L先验误差估计。最后,给出一些数值算例来验证得到理论结果。第二部分,我们研究了控制系统中的非线性抛物最优控制问题的插值系数混合有限元方法。Garcia等人已经研究了控制系统中抛物方程的混合有限元逼近解的误差估计,但是很少有文献研究控制系统中的非线性抛物最优控制问题。我们建立了非线性抛物最优控制问题插值系数混合有限元的半离散格式,采用插值系数的方法去处理方程中的非线性项,对状态方程和对偶状态方程利用最低阶的Raviart-Thomas混合有限元逼近,控制变量利用分片常函数逼近,以及引入一种椭圆混合元投影算子和一些相应的误差估计构造一些中间变量和相应的误差方程,并结合插值算子和其他几种投影算子的性质,得到状态变量和控制变量逼近解的最优阶先验误差估计。然后,我们简单的介绍了全离散插值系数混合有限元方法,将时间t通过差分法进行离散,构造误差方程,获得了全离散插值系数混合有限元解的先验误差估计。最后,根据构造的数值算例验证理论结果的正确性。
潘红艳[9]（2019）在《椭圆Dirichlet边界控制问题的有限体积元法》文中认为最优控制问题在许多工程应用中占有重要地位,它广泛应用于航空航天,生物工程,能源开发,大气污染控制和人口,温度控制等科学技术领域.从数学研究的角度上看,最优控制问题往往可以转化为求目标泛函的极值问题,但很难得到控制问题的解析解.目前,已有的数值方法主要有有限元方法、有限体积元方法、有限差分法和谱方法等等.由于有限体积元方法具有保持物理量的局部守恒和数值计算格式简单的特性,因此得到越来越多的学者的重视.在实际的计算问题中,我们常常会遇到带有Dirichlet边界的最优控制问题.由于获得带有Dirichlet边界约束的椭圆偏微分方程最优控制问题的高精度数值格式很难,所以目前很少有二阶精度格式.对于怎样获得像这种问题的高精度格式,在科学计算和工程应用中是一项具有挑战性的工作.本文的创新点在于使用有限体积元方法求解矩形区域上的带有Dirichlet边界约束的椭圆偏微分方程的最优控制问题,采用先优化后离散的方式,在优化过程中使用拉格朗日乘子方法获得问题的最优性组,利用有限体积元方法离散非线性KKT方程组,采用二次插值克服了投影方程中伴随的方向导数降阶的困难,使得状态,伴随状态,控制均达到了二阶精度.最后给出数值实验证明了该方法的有效性.
李林[10]（2019）在《几类非线性最优控制问题有限体积法研究》文中研究指明偏微分方程的最优控制问题广泛应用于电子学、化工、生物等领域。通常情况下,难以求出偏微分方程最优控制问题的解析解,一种合适的数值方法就显得十分重要。目前,主要利用有限元法和混合有限元法来研究这类问题。而有限体积法相比传统的有限元法,它的计算格式更经济、更有效。因此对于某些最优控制问题,有限体积法将具有独特的优势。本文中,我们将研究几类非线性最优控制问题有限体积元解的先验误差估计。本文分为三个部分。第一部分,我们研究了一类二次泛函情形的非线性椭圆最优控制问题。首先,利用拉格朗日乘数法获得最优性条件,最优性条件由状态方程,对偶状态方程以及变分不等式三者耦合而成。用有限体积法离散最状态和对偶状态方程,再使用变分离散方法去处理变分不等式,获得最优控制问题的有限体积元半离散格式。接着,在合适的假设条件下,利用泰勒展式将非线性项线性化,利用插值算子、投影算子、变分不等式的性质等工具获得状态变量、对偶状态变量和控制变量有限体积元逼近解的先验误差估计。最后,利用数值实验验证结论。第二部分,我们研究的对象是一般泛函情形的非线性抛物最优控制问题。类似于椭圆情形,建立了该问题的半离散格式。在合适的假设条件下,应用Gronwall引理,结合插值算子、变分不等式的性质、投影算子和柯西不等式等处理技巧,给出了非线性抛物最优控制问题有限体积元逼近解的先验误差估计。最后设计数值实验验证了结论的有效性。第三部分,主要研究二次泛函情形的非线性双曲最优控制问题的有限体积法。同理,建立非线性双曲最优控制问题的有限体积元离散格式。借助一个辅助问题,利用泰勒展式、Gronwall引理、标准正交投影算子、插值算子和柯西不等式等处理技巧,在合适的假设条件下,获得了非线性双曲最优控制问题有限体积元逼近解的先验误差估计。
二、Optimal Control of Semilinear Elliptic Variational Bilateral Problem（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、Optimal Control of Semilinear Elliptic Variational Bilateral Problem（论文提纲范文）
（1）几类分数阶随机发展方程的解和控制问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题的背景和意义 |
| 1.1.1 课题的背景 |
| 1.1.2 课题的意义 |
| 1.2 课题的研究现状 |
| 1.2.1 空间分数阶随机反应扩散方程 |
| 1.2.2 时间-空间分数阶随机反应扩散方程 |
| 1.2.3 具延迟混合噪声驱动的时间-空间分数阶随机反应扩散方程 |
| 1.3 本论文的主要研究内容 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 分数阶微分算子 |
| 2.1.1 基本解 |
| 2.1.2 解算子 |
| 2.1.3 分数阶Laplace算子特征值问题 |
| 2.2 随机过程和随机积分 |
| 2.2.1 Q-Brown运动 |
| 2.2.2 分数阶Brown运动及其随机积分 |
| 2.2.3 Poisson跳及其随机积分 |
| 2.3 辅助工具 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 空间分数阶随机扩散控制系统 |
| 3.1 问题的引入 |
| 3.2 弱解的存在唯一性 |
| 3.3 最优控制问题 |
| 3.4 例子 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 分数阶Brown运动和Poisson跳驱动的时间-空间分数阶随机控制问题 |
| 4.1 温和解的存在唯一性 |
| 4.2 最优控制问题 |
| 4.3 例子 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 具延迟混合噪声驱动的时间-空间分数阶随机控制问题 |
| 5.1 问题的引入 |
| 5.2 温和解的存在唯一性 |
| 5.2.1 线性分数阶噪声 |
| 5.2.2 非线性分数阶噪声 |
| 5.2.3 解的估计 |
| 5.3 渐近能控性 |
| 5.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（2）非线性椭圆最优控制问题自适应有限元方法的收敛性与拟最优性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 缩略词 |
| 1 引言 |
| 1.1 概述 |
| 1.1.1 研究背景及意义 |
| 1.1.2 文献综述 |
| 1.2 论文结构 |
| 2 非线性椭圆最优控制问题 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.1.1 Sobleve空间 |
| 2.1.2 常用不等式 |
| 2.2 准备工作 |
| 2.3 有限元离散格式 |
| 3 后验误差估计 |
| 3.1 基于能量范数的后验误差估计 |
| 3.1.1 后验误差估计上界 |
| 3.1.2 后验误差估计下界 |
| 3.2 基于L~2范数的后验误差估计 |
| 3.2.1 后验误差估计上界 |
| 3.2.2 后验误差估计下界 |
| 3.3 自适应有限元算法 |
| 3.3.1 三角单元标记 |
| 3.3.2 最新顶点二分法 |
| 4 基于能量范数后验误差估计的收敛性和拟最优性 |
| 4.1 后验误差估计的收敛性证明 |
| 4.2 后验误差估计的拟最优性证明 |
| 4.3 数值算例 |
| 5 基于L~2范数后验误差估计的收敛性和拟最优性 |
| 5.1 后验误差估计的收敛性证明 |
| 5.2 后验误差估计的拟最优性证明 |
| 5.3 数值算例 |
| 6 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间发表的论文与研究成果清单 |
| 致谢 |
（3）波动方程内界面最优控制问题的CutFEM方法（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| abstract |
| 第一章 引言 |
| §1.1 研究背景 |
| §1.2 国内外研究综述 |
| §1.3 研究意义 |
| 第二章 波动方程内界面最优控制问题 |
| §2.1 模型介绍 |
| §2.2 CutFEM格式 |
| 第三章 误差估计 |
| §3.1 全离散解与中间变量的误差估计 |
| §3.2 控制变量的误差估计 |
| §3.3 精确解与中间变量的误差估计 |
| 第四章 数值模拟 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（5）奇异摄动及优化问题的误差估计与预处理（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究背景和现状 |
| §1.2 研究意义 |
| §1.3 本文的结构及创新点 |
| 第二章 预备知识 |
| §2.1 Legendre多项式 |
| §2.2 Jacobi多项式 |
| §2.3 最优控制问题模型 |
| §2.4 谱方法分类及其特征 |
| §2.4.1 Galerkin谱方法 |
| §2.4.2 Tau方法 |
| §2.4.3 配置方法 |
| 第三章 奇异摄动问题的后验误差估计 |
| §3.1 奇异摄动问题模型 |
| §3.2 L~2-加权范数意义下的后验误差估计 |
| §3.3 H~1-范数意义下的后验误差估计 |
| §3.4 数值算例 |
| 第四章 控制变量受限约束最优控制问题的块预处理子设计 |
| §4.1 控制受限最优控制问题模型 |
| §4.2 块预处理子及其稳健性(robust)分析 |
| §4.3 高效迭代算法设计 |
| §4.4 数值算例 |
| 第五章 状态变量受限约束最优控制问题的块预处理子与最优性条件 |
| §5.1 状态变量积分受限模型及其预处理子构造 |
| §5.1.1 状态变量积分受限模型的最优性条件 |
| §5.1.2 块预处理子及其稳健性(robust)分析 |
| §5.1.3 高效迭代算法设计 |
| §5.1.4 数值算例 |
| §5.2 状态变量L~2范数受限模型的最优性条件 |
| 第六章 状态变量积分受限分数阶最优控制问题的谱方法研究 |
| §6.1 分数阶最优控制问题模型 |
| §6.2 先验误差估计分析 |
| §6.3 数值算例 |
| 第七章 研究展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 读博期间发表和完成的论文 |
（6）子空间扩展算法及其应用（论文提纲范文）
| 1. 引言 |
| 2. 有限维逼近的Aubin-Nitsche技巧 |
| 3. 半线性方程的扩展子空间算法 |
| 3.1. 半线性问题的两网格方法 |
| 3.2. 扩展子空间迭代 |
| 3.3. 多项式非线性问题的快速算法 |
| 4. 在特征值问题中的应用 |
| 5. 总结与推广 |
（7）椭圆型和分数阶扩散方程最优控制问题的谱方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 研究背景和研究现状 |
| 1.2 研究目的及意义 |
| 1.3 本文具体结构安排 |
| 1.4 预备知识 |
| 1.4.1 函数空间及相关性质 |
| 1.4.2 分数阶导数的定义 |
| 1.4.3 最优性条件的唯一性和推导定理 |
| 1.4.4 多项式逼近定理 |
| 1.4.5 hp谱元方法及其相关定理 |
| 第2章 L~2-范数状态受限的椭圆控制问题谱方法研究 |
| 2.1 最优性条件 |
| 2.2 谱方法 |
| 2.3 先验误差分析 |
| 2.4 后验误差分析 |
| 2.5 数值实验 |
| 第3章 L~2-范数控制受限的椭圆控制问题谱方法研究 |
| 3.1 最优性条件 |
| 3.2 谱方法 |
| 3.3 先验误差分析 |
| 3.4 后验误差分析 |
| 3.5 数值实验 |
| 第4章 椭圆控制问题谱元逼近的后验误差估计 |
| 4.1 状态受限椭圆控制问题的谱元方法研究 |
| 4.1.1 hp谱元逼近 |
| 4.1.2 后验误差估计 |
| 4.1.3 数值实验 |
| 4.2 控制受限椭圆控制问题谱元逼近 |
| 4.2.1 谱元方法 |
| 4.2.2 后验误差估计 |
| 4.2.3 数值实验 |
| 第5章 控制受限的时空分数阶最优控制问题的谱方法研究 |
| 5.1 无控制受限的最优控制问题 |
| 5.1.1 最优性条件和谱方法 |
| 5.1.2 先验误差估计 |
| 5.2 控制受限的最优控制问题 |
| 5.2.1 最优性条件和谱方法 |
| 5.2.2 先验误差估计 |
| 5.2.3 后验误差估计 |
| 第6章 状态受限的时间空间分数阶最优控制问题谱方法研究 |
| 6.1 最优性条件 |
| 6.2 Galerkin谱方法 |
| 6.3 先验误差分析 |
| 6.4 后验误差分析 |
| 第7章 结论与展望 |
| 7.1 结论 |
| 7.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读博士期间发表的学术论文和完成论文 |
（8）控制系统中的非线性最优控制问题插值系数混合有限元方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 缩略词表 |
| 1 引言 |
| 1.1 概述 |
| 1.1.1 研究背景及意义 |
| 1.1.2 国内外研究现状 |
| 1.2 有限元方法 |
| 1.3 预备知识 |
| 1.4 论文结构 |
| 2 控制系统中的非线性椭圆最优控制问题插值系数混合有限元方法 |
| 2.1 模型问题 |
| 2.2 插值系数混合有限元方法 |
| 2.3 L~2误差估计 |
| 2.4 数值算例 |
| 3 控制系统中的非线性抛物最优控制问题插值系数混合有限元方法 |
| 3.1 模型问题 |
| 3.2 半离散插值系数混合有限元方法 |
| 3.3 中间变量误差估计 |
| 3.4 先验误差估计 |
| 3.5 全离散插值系数混合有限元方法 |
| 3.6 数值算例 |
| 4 结果与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间发表的论文与研究成果清单 |
| 致谢 |
（9）椭圆Dirichlet边界控制问题的有限体积元法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 前言 |
| 1.1 最优控制问题的研究简介 |
| 1.2 有限体积元方法的背景 |
| 1.3 本文研究的内容 |
| 1.4 本文结构 |
| 第2章 最优控制问题的KKT系统和有限体积元逼近 |
| 2.1 最优控制问题的KKT系统 |
| 2.2 有限体积元逼近 |
| 第3章 误差估计 |
| 第4章 数值实例 |
| 第5章 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（10）几类非线性最优控制问题有限体积法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 引言 |
| 1.1 概述 |
| 1.1.1 研究背景及意义 |
| 1.1.2 国内外研究现状 |
| 1.2 有限体积法 |
| 1.3 预备知识 |
| 1.4 论文结构 |
| 2 非线性椭圆最优控制问题的有限体积法 |
| 2.1 模型问题 |
| 2.2 非线性椭圆最优控制问题有限体积法的半离散格式 |
| 2.3 L~2误差估计 |
| 2.4 L~∞误差估计 |
| 2.5 数值算例 |
| 3 非线性抛物最优控制问题的有限体积法 |
| 3.1 模型问题 |
| 3.2 非线性抛物最优控制问题有限体积法的半离散格式 |
| 3.3 先验误差估计 |
| 3.4 数值实验 |
| 4 非线性双曲最优控制问题的有限体积法 |
| 4.1 模型问题 |
| 4.2 非线性双曲最优控制问题有限体积法的半离散格式 |
| 4.3 先验误差估计 |
| 5 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间发表的论文与研究成果清单 |
| 致谢 |
四、Optimal Control of Semilinear Elliptic Variational Bilateral Problem（论文参考文献）
- [1]几类分数阶随机发展方程的解和控制问题[D]. 鄢立旭. 哈尔滨工业大学, 2021(02)
- [2]非线性椭圆最优控制问题自适应有限元方法的收敛性与拟最优性[D]. 黄飞. 重庆三峡学院, 2021(08)
- [3]波动方程内界面最优控制问题的CutFEM方法[D]. 陈博强. 山东大学, 2021(12)
- [4]一类退化椭圆型分布参数系统的最优控制条件[J]. 王晓燕,王伟华,田巍,张敬. 高师理科学刊, 2021(04)
- [5]奇异摄动及优化问题的误差估计与预处理[D]. 张娟. 山东师范大学, 2021(12)
- [6]子空间扩展算法及其应用[J]. 谢和虎. 数值计算与计算机应用, 2020(03)
- [7]椭圆型和分数阶扩散方程最优控制问题的谱方法研究[D]. 林秀秀. 湘潭大学, 2020(12)
- [8]控制系统中的非线性最优控制问题插值系数混合有限元方法研究[D]. 曹龙舟. 重庆三峡学院, 2019(05)
- [9]椭圆Dirichlet边界控制问题的有限体积元法[D]. 潘红艳. 南京师范大学, 2019(02)
- [10]几类非线性最优控制问题有限体积法研究[D]. 李林. 重庆三峡学院, 2019(03)