一、广义Burgers方程的Legendre-Galerkin Chebyshev-配置方法（论文文献综述）
余荣玉[1]（2021）在《五阶偏微分方程的时空谱方法》文中认为
胡玉巧[2]（2021）在《两类变系数线性微分方程的Legendre Galerkin谱配置最小二乘法》文中提出对变系数椭圆方程和抛物方程研究Legendre Galerkin（LG）谱配置最小二乘法.针对一类变系数的椭圆方程,给出了LG谱配置最小二乘法,结合Chebyshev配置法,得到具有对称正定的离散系统,便于利用迭代方法求解.在数值分析中,该方法耦合了Legendre方法的良好稳定性;在数值计算中,由于采用的Chebyshev插值具有快速计算的特点,所以对变系数部分的处理更具优势,并且通过选取的合理基函数使得到的刚度矩阵和质量矩阵具有稀疏性.给出的算例验证了该数值求解法的高阶精度.将LG谱配置最小二乘法应用在Darcy流动问题,分别考虑均质介质与非均匀介质情况的数值算例,与相应的方法进行了比较,数值实验显示了该方法应用在Darcy流问题的可行性和高精度.另外,对时间依赖模型,考虑了抛物型方程的LG谱配置最小二乘法.基于Legendre Galerkin形式,时间方向用差分法离散,在空间方向基于Legendre方法,初值与源项采用LGL或者CGL配置法来处理.给出的数值实验结果显示方法的有效性.对于变系数的抛物方程也给出时空LG谱配置最小二乘的数值格式.
张丹[3]（2021）在《扩展试探方程法及修正辅助方程法在非线性分数阶发展方程求解中的应用》文中研究说明本文主要是对具有适型分数阶导数的空间-时间（2+1）-维Maccari方程组和空间-时间（3+1）-维Burger方程进行研究。针对具有适型分数阶导数的空间-时间（2+1）-维Maccari方程组和空间-时间（3+1）-维Burger方程的求解问题,我们主要通过相关的微分方程知识、行波变换、齐次平衡原则、修正辅助方程法、扩展试探方程法及Matlab计算软件对其进行研究。第1章主要介绍适型分数阶导数和非线性分数阶发展方程的研究背景,以及近年来国内外学者利用扩展试探方程法和修正辅助方程法对非线性发展方程求解问题的探究。本文研究目的、意义及所进行的主要工作也被指出。第2章主要研究具有适型分数阶导数的空间-时间（2+1）-维Maccari方程组的求解问题。针对该问题,我们首先利用适型分数阶导数的性质对函数变量进行行波变换,并利用齐次平衡原则判断解有如下两种形式:（?）而后借助试探方程Y’（φ）=h0+h1Y（φ）+h2Y2（φ）+h3Y3（φ）及扩展试探方程法对方程组进行求解。第3章主要研究具有适型分数导数的空间-时间（3+1）-维Burger方程的求解问题。针对该问题,我们首先利用适型分数阶导数的性质对函数变量进行行波变换,并利用齐次平衡原则判断解有如下形式:（?）而后借助辅助方程f’（ψ）=pk-f（ψ）+m+qkf（ψ）/lnk及修正辅助方程法对方程进行求解。第4章主要是对文章的主要研究内容和最后得出的结论进行一个简单的总结。
张娟[4]（2021）在《奇异摄动及优化问题的误差估计与预处理》文中指出随着科学研究和工程技术领域探索的不断深入,自然界中的大量自然现象以及日常生活中的很多经济社会现象,往往可以借助（偏）微分方程进行刻画.由于科学工程问题受到诸多因素的影响,通常很难得到其真实解.科学计算是近两个世纪以来重要的科学技术进步之一,已成为促进重大科学发现和科技进步的重要手段,是国家科学技术创新发展的关键要素.科学计算必须依靠高效的数值计算方法和高性能的计算机硬件系统.但是,计算机硬件技术的更新速度在一定程度上跟不上科学工程领域发展的步伐,所以必须依靠研究、设计高效的数值方法进行大规模工程问题的数值模拟,并且这也是最有效、最节约成本的解决方案之一.如何确定恰当计算花销达到给定的数值计算精度,就需要使用自适应的技巧.自适应技巧的核心是利用已有的数值结果和模型方程的已知信息构造有效的后验误差估计指示子.如何得到有效的、便于程序实现的后验误差估计指示子,是当前诸多学者讨论和研究的焦点之一.此外,研究控制系统性能指标最优化的整数阶和分数阶偏微分方程最优控制模型,可以概括为在一组等式或不等式的约束条件下,求目标函数极值的问题.由于分数阶导数算子的全局特性,国内外诸多学者采用谱方法求解变量约束分数阶最优控制问题.本文基于有限元方法讨论了变量约束整数阶最优控制问题的数值求解方法及其离散代数系统快速计算的相关问题,结合其等价离散代数方程组的结构特征,构造了高效的块对角预处理子;利用谱方法给出了状态变量积分受限分数阶最优控制问题的离散格式,实现了模型问题的高效率数值求解.此外,采用谱方法实现了低维空间奇异摄动问题的高效数值求解,并根据基函数的正交特性讨论了该类模型问题的谱方法后验误差估计相关技巧.具体包含如下内容:文中围绕低维空间反应扩散方程奇异摄动问题模型,利用区间加权正交广义雅克比多项式设计了包含奇异摄动参数的正交基函数,从而得到了稀疏的刚度矩阵,并基于谱方法给出了一维奇异摄动问题模型相应的数值求解格式.基于模型方程微分算子建立了数值解的各系数与方程右端项关于雅克比多项式的展开系数之间的恒等关系.借助基函数以及广义雅克比多项式的加权正交性,通过分析基函数正交系数的上界估计,给出了两类范数意义下的后验误差估计.基于控制变量所满足的积分约束条件,给出了分布式最优控制问题的等价最优性条件,采用有限元方法给出了模型问题的数值离散代数系统.针对刚度矩阵中非零元素的结构特点构造了稳健的块预处理子,并设计了快速迭代算法,同时分析了该算法的计算量为≤ 9步.结合数值算例验证了本文所设计预处理子的高效特性,相应的迭代算法计算量符合理论分析结果.类似的,围绕状态变量在积分约束下的椭圆型最优控制问题,利用KKT条件给出了一阶等价最优性条件,采用有限元方法实现了相应等价问题的数值离散,同时根据其刚度矩阵的结构特征,设计了稳健的块预处理子以及可行的迭代算法,并证明了其迭代计算量为≤6步.同样地,给出数值算例验证了预处理子的高效特性,并且佐证了迭代算法的计算量与理论分析结果相一致.通过引入拉格朗日乘子技巧分析了状态变量在L2-范数意义约束下最优控制问题的一阶最优性条件,并得到了控制变量与对偶状态变量之间的等式对应关系.此外,针对Riemann-Liouville意义的分数阶偏微分方程,详细探究了状态变量在积分约束下Riesz分数阶最优控制问题模型相应的最优性条件.借助Galerkin谱方法具有全局性特点,结合广义雅克比多项式构造了 Galerkin谱方法实现分数阶最优控制问题模型的数值离散.同时根据已有的正则性分析结果给出了模型数值解的先验误差估计分析.最后借助数值算例验证了高精度Galerkin谱方法数值格式的逼近效果,通过数值解的收敛阶分析进一步验证了理论结果的正确性.
刘丹[5]（2020）在《全直线上Burgers方程的多区域分解谱方法》文中指出1915年Bateman[1]在研究流体运动的时候首次提出了Burgers方程,1948年Burgers[2]以其为模型建立了湍流理论,多年来一直有许多人在致力于研究该方程.Burgers方程是一个模拟冲击波的传播和反射的非线性偏微分方程,是流体力学中一类基本的偏微分方程.它可以作为流体动力学Navier-Stokes方程的简单模型方程,也可以被看作浅水波问题的洪水数学模型、当代交通流动力学的模型等模型方程.Burgers方程中不仅含有非线性对流项和扩散项,而且含有时间独立项,这使得它具有流体动力学中Navier-Stokes方程的混合型特性,既具有一阶波动方程的特性又具有热传导方程的特性.关于Burgers方程的课题研究显然是具有学术价值的,只不过该课题在研究上仍然是困难重重,因为随着时间的推移,对于给定的带有初边值条件的非线性Burgers方程常常伴随有激波现象.实际上,非线性偏微分方程的精确解往往难以寻求,那么数值求解偏微分方程自然相当重要.但是困难往往是披了一层外衣的挑战和机遇,这也从另外一个方面验证了关于全直线上Burgers方程的数值计算方法的研究具有重要的理论意义和应用价值.本文研究的就是全直线上Burgers方程的组合广义Laguerre-Legendre谱方法.首先,在第二章中介绍了一维Laguerre正交逼近以及Legendre正交逼近的相关理论知识,然后以此为基础给出了一些广义Laguerre、Legendre拟正交逼近的相关结果,最后以拟正交逼近结果为基础建立了全直线上的组合广义Laguerre-Legendre逼近理论,该逼近理论是本文在后面建立全直线上Burgers方程全离散谱方法的数学理论基础.然后,在第三章中构造了全直线上非线性Burgers方程的广义Laguerre-Legendre组合谱格式,并结合广义Laguerre-Legendre组合逼近理论,分析了所提算法格式的收敛性.然后在时间方向上应用步长为?的Crank-Nicholson离散格式,提出了相应的全离散组合广义Laguerre-Legendre谱格式,并完成了数值模拟.数值结果和理论分析相吻合.最后,在第四章中对全文作了一个简要的总结概括,并提出了几个有待进一步研究解决的问题.
邓云丹[6]（2019）在《解微分方程的一种随机Galerkin谱方法》文中指出谱方法是一种求解常微分方程与偏微分方程的常见数值方法,它具有精度高、实现过程简单等特点。含随机变量的随机常微分方程初值问题及随机偏微分方程初边值问题广泛用于描述不确定性问题。本文将为随机常微分方程初值问题及随机偏微分方程初边值问题设计一种随机Galerkin谱方法,并试图通过该方法来数值求解不确定性问题。通过求解具体例子:一阶随机常微分方程初值问题、二阶随机非线性Burgers方程初边值问题、一维椭圆型方程边值问题、二维椭圆型方程边值问题来详细介绍连续性随机变量服从Gaussian分布、Gamma分布、Beta分布、均匀分布时分别基于Hermite多项式、Laguerre多项式、Jacobi多项式、Legendre多项式和离散型随机变量服从Poisson分布、二项分布、负二项分布、超几何分布时分别基于Charlier多项式、Krawtchouk多项式、Meixner多项式以及Hahn多项式的Galerkin谱方法的实现过程:先假定方程中的随机变量能够用基于基函数Φi（x）的展开式来逼近,然后将该随机变量的逼近展开式代入方程之中,再利用随机Galerkin谱方法得到关于未知函数的常微分方程或偏微分方程的初值问题、边值问题以及初边值问题,最终通过求解该不含随机变量的方程问题得到原随机微分方程解的近似信息。基于基函数Φi（x）的随机Galerkin谱方法具有精度高、实现过程简单等优点,本文的算法实现过程及数值例子显示了该谱方法的这些优点。本文所提出的数值方法具有一般性,可以用来处理更一般的随机常微分方程或随机偏微分方程问题。
金世举[7]（2019）在《谱方法基于POD降阶外推算法的几个问题研究》文中研究指明本文主要针对谱方法基于特征投影分解（Perper Orthogonal Decomposition,简记为POD）降阶外推算法的几个问题进行研究。众所周知,偏微分方程数值解法主要包括有限差分法、有限元法、有限体积元法以及谱方法,其中谱方法相对于其他数值解法有着更高的计算精度,因此受到众多研究者们的关注。虽然利用传统的经典谱方法求解一些偏微分方程在理论上是可行的,但对于大型的工程问题,计算过程往往包含数以万计的自由度,不仅影响了计算的精度,而且还会影响计算的效率。因此,如何将经典谱方法进行改进,建立一种既能保证计算精度,又能减少计算未知量和提高计算效率的谱方法是一个很重要的课题。特征投影分解法（POD）是一种既能保证计算精度,又能在数值计算过程中极大地减少未知量的有效的数值方法。该方法已经被很多学者成功运用到了对有限差分法、有限元法以及有限体积元法等偏微分方程数值解法的降阶计算中。本文将就如何利用POD方法对传统经典谱方法做降阶处理,从而得到效率更高,计算更精确的基于POD降阶外推谱方法展开研究。主要内容包括:第一,首先运用经典中心差分Galerkin谱方法对二维双曲型偏微分方程进行数值求解,构造中心差分Galerkin谱方法迭代格式,给出迭代格式解的误差分析和稳定性分析,并做具体的实验验证。然后构造合理的POD基,建立求解该方程的基于POD算法的降阶外推中心差分Galerkin谱方法的迭代格式,分析其收敛性,给出具体的实现步骤,并完成对应的数值仿真。结合两种方法的计算步骤和数值实验,分析比较方法的有效性、实用性和优越性。第二,运用经典配置点谱方法和基于POD算法的降阶外推配置点谱方法分别求解二维Sobolev方程。先运用格林公式将该方程改写为等价的变分形式,并证明该变分形式解的存在唯一性。再利用Legendre-Gauss-Lobatto型配置点在空间方向上对该变分形式进行离散,建立求解二维Sobolev方程的经典配置点谱方法迭代格式,分析迭代格式解的存在唯一性、稳定性以及收敛性。然后同样运用经典配置点谱方法迭代格式求出的很小时间段的数值解构造POD基,建立基于POD算法的降阶外推配置点谱方法迭代格式来求解二维Sobolev方程,并分析该迭代格式解的存在唯一性,收敛性和稳定性。最后,通过数值算例说明理论分析的正确性,阐述两种谱方法对于求解二维Sobolev方程的有效性和降阶谱方法的优越性。第三,运用Crank-Nicolson配置点谱方法和基于POD算法的降阶外推Crank-Nicolson配置点谱方法分别求解二维粘性波方程。首先建立求解二维粘性波方程的经典Crank-Nicolson配置点谱方法迭代格式,分析格式解的存在唯一性、稳定性以及收敛性。接着运用POD算法对经典谱方法迭代格式的解系数向量进行降阶,建立既与经典Crank-Nicolson配置点谱方法迭代格式有相同基函数又满足经典谱格式高精度优点的降阶外推Crank-Nicolson配置点谱方法迭代格式。根据矩阵分析,讨论该降阶迭代格式解的存在唯一性、收敛性和稳定性。最后,通过具体的数值实验,验证理论分析的正确性,并进一步说明降阶外推Crank-Nicolson配置点谱方法对于求解二维粘性波方程的有效性和可行性。第四,运用投影配置点谱方法求解二维非定常Stokes方程。在时间方向上运用压力修正投影法对该方程进行离散,在空间方向上运用配置点谱方法对该方程的解进行逼近,建立求解二维非定常Stokes方程的投影配置点谱方法迭代格式,分析该迭代格式解的存在唯一性、稳定性以及收敛性。并利用具体的数值实验说明运用投影配置点谱方法求解二维非定常Stokes方程的可行性。
白景阁,马和平[8]（2018）在《发展方程谱方法的显隐Runge-Kutta方法》文中进行了进一步梳理针对非齐次两点边值问题,首先给出了结合谱方法解发展方程的显式四阶RungeKutta方法的有效实现形式,又通过待定系数法构造出显隐Runge-Kutta的三阶格式,证明其为L-稳定.随后给出显隐Runge-Kutta高阶方法的有效实现形式,用此格式计算了Burgers方程和Korteweg-de Vries （KdV）方程,并将计算结果与目前常用的时间离散方法进行了比较.数值结果表明这些方法的有效性及可行性.
杨宇博,马和平[9]（2017）在《广义空间分数阶Burgers方程的Legendre Galerkin-Chebyshev配置方法逼近》文中研究指明本文采用Legendre Galerkin-Chebyshev配置方法求解广义空间分数阶Burgers方程.该方法基于Legendre Galerkin变分形式,但是非线性项与右端源项采用Chebyshev-Gauss插值逼近.首先,通过在空间方向采用Legendre Galerkin-Chebyshev配置方法离散,时间方向采用leap-frog/Crank-Nicolson格式离散,得到了方程的全离散格式,其中非线性项能够显式计算.接着,给出了稳定性分析及L2-范数下的误差估计.数值算例显示该方法的稳定性,高效性及易实现性.
杨宇博[10]（2017）在《若干分数阶微分方程的谱方法》文中认为分数阶微分方程指的是含有分数阶导数或分数阶积分的方程,而分数阶导数（或积分）是经典的整数阶导数（或积分）的推广.本文主要研究若干分数阶微分方程的谱方法.首先,本文针对有界区域上的带有Coimbra型变阶时间分数阶导数的MIM-AD（mobile-immobile advection-dispersion）模型设计了一套有效的高精度数值算法.该模型常用于模拟集水区和河流中的溶质输运问题.基于Jacobi多项式的性质,给出了逼近Coimbra型变阶分数阶导数算子的有效的递推算法.再根据上述算法,在时间和空间上都采用谱配置法数值求解变阶分数阶MIM-AD模型.最后,给出了充分的数值算例来验证算法的有效性,并与其他方法相比较,显示了本方法的高精度.其次,本文针对半无界区域上的多项变系数分数阶线性和非线性微分方程提出了两种新的,高效的分数阶谱配置方法.方程中的分数阶导数算子既可以是Caputo型的,也可以是Riemann-Liouville型的.第一种方法基于广义Laguerre-Gauss型积分节点上的Lagrange插值.该方法可以通过两种格式实现:第一种格式基于广义Laguerre多项式的三项递推公式及其导数的递推公式;而第二种格式直接基于广义Laguerre多项式的分数阶积分公式和分数阶导数公式.第二种方法基于广义Laguerre-Gauss-Radau积分节点上的Birkhoff插值.该方法通过给出分数阶Birkhoff插值多项式,并以此为基函数给出一种新的配置格式.通过调整方法中的参数,可以显着的提高这两种方法的效果.此外,这两种方法都易于推广到求解变阶的分数阶微分方程.最后,给出了充分的数值算例来验证这两种方法的有效性和谱精度.接着,本文将Legendre Galerkin-Chebyshev配置方法（LGCC方法）应用于求解有界区域上的一类广义分数阶Burgers方程.该方法基于Legendre-Galerkin变分形式,但是非线性项和右端源项采用Chebyshev-Gauss插值.通过引入与分数阶算子有关的空间,对方程的全离散格式进行了稳定性和收敛性分析,并得到了 L2模下的误差估计.数值算例验证了该方法的稳定性和有效性.最后,本文将LGCC方法应用于求解有界区域上的带有分数阶非线性项和扩散项的的空间分数阶Burgers型方程.通过引入与分数阶算子有关的空间,对模型的半离散格式和全离散格式都进行了稳定性和收敛性分析,并得到了 L2模下的误差估计.数值算例验证了该方法的稳定性和有效性.
二、广义Burgers方程的Legendre-Galerkin Chebyshev-配置方法（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、广义Burgers方程的Legendre-Galerkin Chebyshev-配置方法（论文提纲范文）
（2）两类变系数线性微分方程的Legendre Galerkin谱配置最小二乘法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究背景与发展现状 |
| §1.2 研究内容及创新点 |
| 第二章 预备知识 |
| 第三章 变系数椭圆方程的LG谱配置最小二乘法 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 LG谱配置最小二乘格式 |
| §3.3 强制性、连续性和收敛性分析 |
| §3.4 算法实施 |
| §3.5 数值算例 |
| §3.6 在Darcy流的应用 |
| §3.7 本章小结 |
| 第四章 变系数抛物方程的LG谱配置最小二乘法 |
| §4.1 抛物方程的LG谱配置最小二乘法 |
| §4.1.1 引言 |
| §4.1.2 LG谱配置最小二乘格式 |
| §4.1.3 算法实施 |
| §4.1.4 数值算例 |
| §4.2 变系数抛物方程的LG谱配置最小二乘法 |
| §4.2.1 变系数抛物方程LG谱配置最小二乘格式 |
| §4.2.2 预处理迭代 |
| §4.3 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者在攻读硕士期间的主要研究成果 |
| (一)发表的论文 |
| (二)科研项目 |
| (三)奖励 |
（3）扩展试探方程法及修正辅助方程法在非线性分数阶发展方程求解中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 前言 |
| 1.1 本文的研究背景 |
| 1.2 国内外研究动态 |
| 1.2.1 国内研究动态 |
| 1.2.2 国外研究动态 |
| 1.3 本文研究的目的与意义 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 1.5 章末小结 |
| 第2章 空间-时间分数阶(2+1)-维Maccari方程组的新精确解 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 扩展试探方程法的介绍 |
| 2.3 空间-时间分数阶(2+1)-维Maccari方程组的求解 |
| 2.4 章末小结 |
| 第3章 空间-时间分数阶(2+1)-维Burger方程的新精确解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 修正辅助方程法的介绍 |
| 3.3 空间-时间分数阶(2+1)-维Burger方程的求解 |
| 3.4 章末小结 |
| 第4章 总结与展望 |
| 4.1 本文总结 |
| 4.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间的科研情况 |
（4）奇异摄动及优化问题的误差估计与预处理（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究背景和现状 |
| §1.2 研究意义 |
| §1.3 本文的结构及创新点 |
| 第二章 预备知识 |
| §2.1 Legendre多项式 |
| §2.2 Jacobi多项式 |
| §2.3 最优控制问题模型 |
| §2.4 谱方法分类及其特征 |
| §2.4.1 Galerkin谱方法 |
| §2.4.2 Tau方法 |
| §2.4.3 配置方法 |
| 第三章 奇异摄动问题的后验误差估计 |
| §3.1 奇异摄动问题模型 |
| §3.2 L~2-加权范数意义下的后验误差估计 |
| §3.3 H~1-范数意义下的后验误差估计 |
| §3.4 数值算例 |
| 第四章 控制变量受限约束最优控制问题的块预处理子设计 |
| §4.1 控制受限最优控制问题模型 |
| §4.2 块预处理子及其稳健性(robust)分析 |
| §4.3 高效迭代算法设计 |
| §4.4 数值算例 |
| 第五章 状态变量受限约束最优控制问题的块预处理子与最优性条件 |
| §5.1 状态变量积分受限模型及其预处理子构造 |
| §5.1.1 状态变量积分受限模型的最优性条件 |
| §5.1.2 块预处理子及其稳健性(robust)分析 |
| §5.1.3 高效迭代算法设计 |
| §5.1.4 数值算例 |
| §5.2 状态变量L~2范数受限模型的最优性条件 |
| 第六章 状态变量积分受限分数阶最优控制问题的谱方法研究 |
| §6.1 分数阶最优控制问题模型 |
| §6.2 先验误差估计分析 |
| §6.3 数值算例 |
| 第七章 研究展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 读博期间发表和完成的论文 |
（5）全直线上Burgers方程的多区域分解谱方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题研究的背景与意义 |
| 1.1.1 课题研究的背景 |
| 1.1.2 课题研究的意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 课题研究的主要内容与结果 |
| 1.3.1 主要研究内容 |
| 1.3.2 主要结果 |
| 1.4 本文的结构 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 Laguerre拟正交逼近 |
| 2.2 Legendre拟正交逼近 |
| 2.3 Leguerre-Legendre组合逼近 |
| 第3章 全直线上Burgers方程的区域分解谱方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 全离散Leguerre-Legendre谱格式 |
| 3.3 收敛性分析 |
| 3.4 数值结果 |
| 第4章 总结与展望 |
| 4.1 全文工作总结 |
| 4.2 未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 附录Ⅰ 矩阵形式 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间的研究成果 |
（6）解微分方程的一种随机Galerkin谱方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 随机Galerkin谱方法研究现状 |
| 1.2 本论文的研究意义 |
| 第2章 相关理论预备知识 |
| 2.1 连续型随机变量 |
| 2.2 离散型随机变量 |
| 2.3 谱方法 |
| 2.4 Galerkin方法 |
| 第3章 初边值问题的随机Galerkin谱方法 |
| 3.1 含连续型随机变量的初边值问题 |
| 3.2 含离散型随机变量的初边值问题 |
| 第4章 边值问题的随机Galerkin谱方法 |
| 4.1 含连续型随机变量的边值问题 |
| 4.2 含离散型随机变量的边值问题 |
| 第5章 实例分析 |
| 5.1 求解一阶随机常微分方程初值问题 |
| 5.1.1 Z为一连续型随机变量 |
| 5.1.2 Z为一离散型随机变量 |
| 5.2 求解二阶随机非线性Burgers方程初边值问题 |
| 5.2.1 Z为一连续型随机变量 |
| 5.2.2 Z为一离散型随机变量 |
| 第6章 实例计算结果 |
| 6.1 求解一阶随机常微分方程初值问题 |
| 6.1.1 Z服从Gaussian分布时计算结果 |
| 6.1.2 Z服从Poisson分布时计算结果 |
| 6.2 求解二阶随机非线性Burgers方程初边值问题 |
| 6.2.1 Z服从Gaussian分布时计算结果 |
| 6.2.2 Z服从Poisson分布时计算结果 |
| 6.3 求解一维随机椭圆型方程边值问题 |
| 6.3.1 Z服从Gaussian分布时计算结果 |
| 6.3.2 Z服从Poisson分布时计算结果 |
| 6.4 求解二维随机椭圆型方程边值问题 |
| 6.4.1 Z服从Gaussian分布时计算结果 |
| 6.4.2 Z服从Poisson分布时计算结果 |
| 第7章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间完成的研究成果 |
（7）谱方法基于POD降阶外推算法的几个问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及研究的目的和意义 |
| 1.2 谱方法基于POD降阶外推算法的研究动态 |
| 1.2.1 偏微分方程数值解法的研究动态 |
| 1.2.2 谱方法的发展概况 |
| 1.2.3 POD降阶外推算法的发展概况 |
| 1.2.4 谱方法基于POD降阶外推算法的研究动态 |
| 1.3 本文主要研究内容及重难点 |
| 第2章 谱方法理论基础 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 谱方法 |
| 2.2.1 谱方法的原理 |
| 2.2.2 Galerkin谱方法 |
| 2.2.3 配置点谱方法 |
| 2.2.4 Petrov-Galerk谱方法 |
| 2.2.5 谱方法的基函数 |
| 2.3 Sobolev空间 |
| 2.4 Fourier逼近 |
| 2.5 区间[-1,1]上的Chebyshev多项式逼近 |
| 2.5.1 Chebyshev多项式 |
| 2.5.2 Chebyshev多项式逼近 |
| 2.6 区间[-1,1]上的Legendre多项式逼近 |
| 2.6.1 Legendre多项式 |
| 2.6.2 Legendre多项式逼近 |
| 2.7 本章小结 |
| 第3章 二维双曲型方程基于POD降阶外推的谱方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 二维双曲型方程的中心差分Galerkin谱方法 |
| 3.2.1 二维双曲型方程的中心差分Galerkin谱方法迭代格式 |
| 3.2.2 中心差分Galerkin谱方法迭代格式的误差分析和稳定性分析 |
| 3.3 二维双曲型方程基于POD降阶外推的中心差分Galerkin谱方法 |
| 3.3.1 构造POD基 |
| 3.3.2 二维双曲型方程基于POD降阶外推的中心差分Galerkin谱方法迭代格式 |
| 3.3.3 降阶外推中心差分Galerkin谱方法迭代格式的误差分析 |
| 3.3.4 降阶外推中心差分Galerkin谱方法的实现步骤 |
| 3.4 二维双曲型方程的数值实验 |
| 3.4.1 实验一 |
| 3.4.2 实验二 |
| 3.4.3 实验三 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 二维Sobolev方程基于POD降阶外推的谱方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 二维Sobolev方程的经典配置点谱方法 |
| 4.2.1 预备知识 |
| 4.2.2 二维Sobolev方程的变分形式 |
| 4.2.3 二维Sobolev方程的经典配置点谱方法迭代格式 |
| 4.2.4 经典配置点谱方法迭代格式解的存在唯一性和稳定性分析 |
| 4.2.5 经典配置点谱方法迭代格式解的误差分析 |
| 4.2.6 经典配置点谱方法迭代格式的矩阵形式 |
| 4.3 二维Sobolev方程基于POD降阶外推的配置点谱方法 |
| 4.3.1 构造POD基 |
| 4.3.2 二维Sobolev方程基于POD降阶外推的配置点谱方法迭代格式 |
| 4.3.3 降阶外推配置点谱方法迭代格式解的存在唯一性、稳定性以及收敛性分析 |
| 4.3.4 降阶外推配置点谱方法的实现步骤 |
| 4.4 二维Sobolev方程的数值实验 |
| 4.4.1 实验一 |
| 4.4.2 实验二 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 二维粘性波方程基于POD降阶外推的谱方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 二维粘性波方程的Crank-Nicolson配置点谱方法 |
| 5.2.1 二维粘性波方程的变分形式 |
| 5.2.2 二维粘性波方程的Crank-Nicolson配置点谱方法迭代格式 |
| 5.2.3 Crank-Nicolson配置点谱方法迭代格式解的存在唯一性和稳定性分析 |
| 5.2.4 Crank-Nicolson配置点谱方法迭代格式解的误差估计 |
| 5.2.5 Crank-Nicolson配置点谱方法迭代格式的矩阵形式 |
| 5.3 二维粘性波方程基于POD降阶外推的Crank-Nicolson配置点谱方法 |
| 5.3.1 构造POD基 |
| 5.3.2 二维粘性波方程基于POD降阶外推的Crank-Nicolson配置点谱方法迭代格式 |
| 5.3.3 降阶外推Crank-Nicolson配置点谱方法迭代格式解的存在唯一性、稳定性以及收敛性分析 |
| 5.3.4 降阶外推Crank-Nicolson配置点谱方法的实现步骤 |
| 5.4 二维粘性波方程的数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 第6章 二维非定常Stokes方程的谱方法 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 二维非定常Stokes方程的变分形式 |
| 6.2.1 预备知识 |
| 6.2.2 二维非定常Stokes方程的变分形式 |
| 6.3 二维非定常Stokes方程的投影配置点谱方法 |
| 6.3.1 二维非定常Stokes方程的投影配置点谱方法迭代格式 |
| 6.3.2 投影配置点谱方法迭代格式解的存在唯一性和稳定性分析 |
| 6.3.3 投影配置点谱方法迭代格式解的误差分析 |
| 6.4 二维非定常Stokes方程的数值实验 |
| 6.5 本章小结 |
| 第7章 结论与展望 |
| 7.1 论文的主要工作和创新点 |
| 7.2 今后的研究计划 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 攻读博士学位期间参加的科研工作 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（9）广义空间分数阶Burgers方程的Legendre Galerkin-Chebyshev配置方法逼近（论文提纲范文）
| 1. 引言 |
| 2. 预备知识 |
| 3. LGCC方法 |
| 4. 误差估计 |
| 5. 数值算例 |
（10）若干分数阶微分方程的谱方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究动机 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 分数阶微积分的定义及基本性质 |
| 2.2 分数阶空间及其性质 |
| 2.3 Jacobi多项式及其基本性质 |
| 2.4 广义Laguerre多项式及其基本性质 |
| 第三章 时间变阶分数阶MIM-AD溶质输运模型的Jacobi谱配置法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 Coimbra型变阶分数阶导数的逼近 |
| 3.3 MIM-AD模型的谱配置格式 |
| 3.4 数值算例 |
| 第四章 半无界区域上多项变系数线性和非线性分数阶微分方程的谱配置法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 F-PSDMs的计算 |
| 4.2.1 F-PSDMs的递推公式 |
| 4.2.2 F-PSDMs的直接公式 |
| 4.3 Birkhoff插值多项式 |
| 4.3.1 Caputo型分数阶Birkhoff插值 |
| 4.3.2 Riemann-Liouville型分数阶Birkhoff插值 |
| 4.4 数值算例 |
| 第五章 广义分数阶Burgers方程的Legendre Galerkin-Chebyshev配置法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 预备知识 |
| 5.3 广义空间分数阶Burgers方程的LGCC方法 |
| 5.3.1 LGCC格式 |
| 5.3.2 误差估计 |
| 5.4 广义时间-空间分数阶Burgers方程的LGCC方法 |
| 5.4.1 LGCC格式 |
| 5.4.2 误差估计 |
| 5.5 数值算例 |
| 5.5.1 算例之广义空间分数阶Burgers方程 |
| 5.5.2 算例之广义时间-空间分数阶Burgers方程 |
| 第六章 空间分数阶Burgers型方程的Legendre Galerkin-Chebyshev配置法 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 LGCC格式 |
| 6.3 半离散格式的误差分析 |
| 6.4 全离散格式的误差分析 |
| 6.5 数值算例 |
| 第七章 总结和展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成的工作 |
| 致谢 |
四、广义Burgers方程的Legendre-Galerkin Chebyshev-配置方法（论文参考文献）
- [1]五阶偏微分方程的时空谱方法[D]. 余荣玉. 上海大学, 2021
- [2]两类变系数线性微分方程的Legendre Galerkin谱配置最小二乘法[D]. 胡玉巧. 桂林电子科技大学, 2021
- [3]扩展试探方程法及修正辅助方程法在非线性分数阶发展方程求解中的应用[D]. 张丹. 西华师范大学, 2021(12)
- [4]奇异摄动及优化问题的误差估计与预处理[D]. 张娟. 山东师范大学, 2021(12)
- [5]全直线上Burgers方程的多区域分解谱方法[D]. 刘丹. 河南科技大学, 2020(07)
- [6]解微分方程的一种随机Galerkin谱方法[D]. 邓云丹. 云南财经大学, 2019(01)
- [7]谱方法基于POD降阶外推算法的几个问题研究[D]. 金世举. 华北电力大学(北京), 2019(01)
- [8]发展方程谱方法的显隐Runge-Kutta方法[J]. 白景阁,马和平. 应用数学与计算数学学报, 2018(03)
- [9]广义空间分数阶Burgers方程的Legendre Galerkin-Chebyshev配置方法逼近[J]. 杨宇博,马和平. 数值计算与计算机应用, 2017(03)
- [10]若干分数阶微分方程的谱方法[D]. 杨宇博. 上海大学, 2017(03)